charm reverse
Hemm ħafna diskors dwar "is-sbuħija tal-opposti", u mhux biss fil-matematika. Ftakar li n-numri opposti huma dawk li jvarjaw biss fis-sinjal: flimkien ma’ 7 u nieqes 7. Is-somma tan-numri opposti hija żero. Imma għalina (jiġifieri l-matematiċi) in-numri reċiproċi huma aktar interessanti. Jekk il-prodott tan-numri huwa ugwali għal 1, allura dawn in-numri huma inversi ta 'xulxin. Kull numru għandu l-oppost tiegħu, kull numru mhux żero għandu l-invers tiegħu. L-invers tal-invers huwa ż-żerriegħa.
L-inverżjoni sseħħ kull fejn żewġ kwantitajiet huma relatati ma' xulxin b'tali mod li jekk waħda tiżdied, l-oħra tonqos b'rata korrispondenti. "Korrispondenti" tfisser li l-prodott ta' dawn il-kwantitajiet ma jinbidilx. Niftakru mill-iskola: din hija proporzjonalità inversa. Jekk irrid nasal fid-destinazzjoni tiegħi f'nofs il-ħin (jiġifieri, inaqqas il-ħin bin-nofs), għandi bżonn nirdoppja l-veloċità tiegħi. Jekk tnaqqas il-volum ta 'bastiment issiġillat bil-gass b'n darbiet, allura l-pressjoni tiegħu tiżdied b'n darbiet.
Fl-edukazzjoni elementari, aħna niddistingwu bir-reqqa bejn paraguni differenzjali u relattivi. "Kemm aktar"? - "Kemm drabi aktar?"
Hawn huma xi avvenimenti tal-iskola:
Kompitu 1 Minn żewġ kwantitajiet pożittivi, l-ewwel hija 5 darbiet akbar mit-tieni u fl-istess ħin 5 darbiet akbar mill-ewwel. X'inhuma d-dimensjonijiet?
Kompitu 2 Jekk numru wieħed huwa akbar mit-tieni bi 3, u t-tieni huwa akbar mit-tielet bi 2, allura kemm hu akbar l-ewwel numru mit-tielet? Jekk l-ewwel numru pożittiv huwa d-doppju tat-tieni, u l-ewwel numru huwa tliet darbiet it-tielet, allura kemm-il darba l-ewwel numru huwa akbar mit-tielet?
Kompitu 3 Fil-kompitu 2, huma permessi biss numri naturali. Huwa possibbli arranġament kif deskritt hemmhekk?
Kompitu 4 Minn żewġ kwantitajiet pożittivi, l-ewwel hija 5 darbiet akbar mit-tieni, u t-tieni hija 5 darbiet akbar mill-ewwel. Huwa possibli?
Il-kunċett ta '"medja" jew "medja" jidher sempliċi ħafna. Jekk irċiklejt 55km nhar it-Tnejn, 45km it-Tlieta u 80km l-Erbgħa, għamilt medja ta’ 60km bir-rota tiegħi kuljum. Ma’ dawn il-kalkoli naqblu bis-sħiħ, għalkemm huma xi ftit strambi għax qatt ma ridt 60 km f’ġurnata waħda. Aħna naċċettaw ukoll faċilment l-ishma ta 'persuna: jekk mitejn persuna jżuru restorant fi żmien sitt ijiem, allura r-rata medja ta' kuljum hija 33 u terz persuna. Hm!
Hemm problemi biss bid-daqs medju. Jien inħobb iċ-ċikliżmu. Allura ħadt vantaġġ mill-offerta tal-aġenzija tal-ivvjaġġar "Ejja magħna" - huma jwasslu l-bagalji fil-lukanda fejn il-klijent ikun sejjer bir-rota għal skopijiet ta 'rikreazzjoni. Nhar il-Ġimgħa saq għal erba’ sigħat: l-ewwel tnejn b’veloċità ta’ 24 km fis-siegħa. Imbagħad tant kont għajjien li għat-tnejn ta’ wara kont nagħmel biss 16 fis-siegħa. X'kienet il-veloċità medja tiegħi? Naturalment (24+16)/2=20km=20km/h.
Nhar is-Sibt, iżda, il-bagalji tħallew fil-lukanda, u mort nara l-fdalijiet tal-kastell, 24 km bogħod, u, wara li rajthom, erġajt lura. Saq għal siegħa f’direzzjoni waħda u ġejt lura aktar bil-mod, b’veloċità ta’ 16-il km fis-siegħa. X'kienet il-veloċità medja tiegħi fuq ir-rotta lukanda-kastell-lukanda? 20 km fis-siegħa? Mhux ovvja li le. Wara kollox, saq total ta’ 48 km u domni siegħa (“hemm”) u siegħa u nofs lura. 48 km f’sagħtejn u nofs, i.e. siegħa 48/2,5=192/10=19,2 km! F'din is-sitwazzjoni, il-veloċità medja mhijiex il-medja aritmetika, iżda armonika tal-valuri mogħtija:
u din il-formula ta 'żewġ sulari tista' tinqara kif ġej: il-medja armonika ta 'numri pożittivi hija r-reċiproku tal-medja aritmetika tar-reċiproku tagħhom. L-invers tas-somma tal-inversi jidher f’ħafna korijiet ta’ inkarigi tal-iskola: jekk ħaddiem wieħed iħaffer għal sigħat, l-ieħor għal b sigħat, allura, jaħdmu flimkien, iħaffer fil-ħin. pool bl-ilma (wieħed f'siegħa, l-ieħor f'sitt sigħat). Jekk reżistenza waħda għandha R1 u l-oħra għandha R2, allura għandhom reżistenza parallela.
Jekk kompjuter wieħed jista’ jsolvi problema f’sekondi, kompjuter ieħor f’b sekondi, allura meta jaħdmu flimkien...
Waqfa! Dan huwa fejn tispiċċa l-analoġija, għax kollox jiddependi fuq il-veloċità tan-netwerk: l-effiċjenza tal-konnessjonijiet. Il-ħaddiema jistgħu wkoll ifixklu jew jgħinu lil xulxin. Jekk persuna waħda tista’ tħaffer bir fi tmien sigħat, jistgħu jagħmlu dan tmenin ħaddiem f’1/10 ta’ siegħa (jew 6 minuti)? Jekk sitt porters iwasslu pjanu fl-ewwel sular f’6 minuti, kemm se jdumu wieħed minnhom biex iwassal il-pjanu fis-sittin sular? L-assurdità ta 'dawn il-problemi ġġegħelna niftakru l-applikabilità limitata tal-matematika kollha għall-problemi tal-"ħajja reali".
Għażiż bejjiegħ
L-imwieżen m'għadhomx jintużaw. Ejja nfakkru li piż tqiegħed fuq skutella waħda ta 'mwieżen bħal dawn, l-oġġetti li kienu jintiżnu kienu mqiegħda fuq l-oħra, u meta l-piż kien f'bilanċ, il-merkanzija kienet tiżen l-istess bħall-piż. Naturalment, iż-żewġ dirgħajn tal-piż għandhom ikunu l-istess tul, inkella l-użin ma jkunx korrett.
Eh sewwa. Immaġina salesperson li għandu piż bi spallejn mhux ugwali. Madankollu, irid ikun onest mal-klijenti u jiżen l-oġġetti f'żewġ lottijiet. L-ewwel, huwa jpoġġi piż fuq taġen wieħed u ammont korrispondenti ta 'merkanzija fuq l-oħra, sabiex l-imwieżen ikunu f'bilanċ. Imbagħad jiżen it-tieni "nofs" tal-merkanzija f'ordni inversa, jiġifieri, ipoġġi l-piż fuq it-tieni pan u l-oġġetti fuq l-ewwel. Peress li l-idejn mhumiex ugwali, in-nofsijiet qatt ma huma ugwali. U l-bejjiegħ għandu kuxjenza nadifa, u x-xerrejja jfaħħru l-onestà tiegħu: "dak li neħħa hawn, żied aktar tard."
Madankollu, ejja nagħtu ħarsa aktar mill-qrib lejn l-imġieba ta 'bejjiegħ li jrid ikun onest minkejja l-piż mhux affidabbli. Ħalli l-armi tal-miżien għandhom tulijiet a u b. Jekk waħda mill-iskutelli hija mgħobbija b'piż ta 'kilogramma, u l-oħra hija mgħobbija b'x oġġetti, allura l-imwieżen ikunu f'ekwilibriju jekk ax = b l-ewwel darba u bx = a it-tieni darba. Allura, l-ewwel parti tal-prodott hija ugwali għal b/a kilogrammi, it-tieni parti hija ugwali għal a/b. Piż tajjeb għandu a = b, li jfisser li x-xerrej se jirċievi 2 kg ta 'merkanzija. Ejja naraw x'jiġri meta a ≠ b. Imbagħad a – b ≠ 0 u mill-formula tal-multiplikazzjoni mqassra għandna
Wasalna għal riżultat mhux mistenni: il-metodu li jidher ġust ta 'kejl ta' "medja" f'dan il-każ jaħdem għall-benefiċċju tax-xerrej, li jirċievi aktar oġġetti.
Assenjazzjoni 5. (Importanti, xejn fil-matematika!). Nemusa tiżen 2,5 milligrammi, u iljunfant ħames tunnellati (din hija dejta pjuttost korretta). Ikkalkula l-medja aritmetika, ġeometrika u armonika tal-mases (piżijiet) tan-nemus u l-iljunfant. Iċċekkja l-kalkoli u ara jekk jagħmlux sens lil hinn mill-eżerċizzji aritmetiċi. Ejja nħarsu lejn eżempji oħra ta 'kalkoli matematika li ma jagħmlux sens fil-"ħajja reali." Tip: Diġà ħares lejn eżempju wieħed f'dan l-artikolu. Ifisser dan li l-istudent anonimu li l-opinjoni tiegħu sibt fuq l-Internet kienet tajba: “Il-matematika tqarraq in-nies bin-numri”?
Iva, naqbel li fil-kobor tal-matematika tista '"iqarraq" lin-nies - kull tieni reklam tax-shampoo jgħid li jżid il-frizz b'xi persentaġġ. Se nfittxu aktar eżempji ta' għodod utli ta' kuljum li jistgħu jintużaw għal attività kriminali?
Grammi!
It-titlu ta’ din is-silta huwa verb (l-ewwel persuna plural) aktar milli nom (nominattiv plural ta’ elf ta’ kilogramma). L-armonija tippresupponi l-ordni u l-mużika. Għall-Griegi tal-qedem, il-mużika kienet fergħa tax-xjenza - ċertament, jekk ngħidu hekk, qed nittrasferixxu t-tifsira attwali tal-kelma "xjenza" għaż-żmien ta 'qabel l-era tagħna. Pitagora għex fis-seklu XNUMX QK Mhux biss ma kienx jaf kompjuter, telefon ċellulari u email, iżda wkoll ma kienx jaf min kienu Robert Lewandowski, Mieszko I, Charlemagne u Cicero. Ma kienx jaf in-numri Għarab u lanqas Rumani (daħlu jintużaw madwar il-5 seklu QK), ma kienx jaf x’kienu l-Gwerer Puniċi... Imma kien jaf il-mużika...
Kien jaf li fuq strumenti tal-kordi l-koeffiċjenti tal-vibrazzjoni huma inversament proporzjonali għat-tul tal-partijiet li jivvibraw tal-kordi. Kien jaf, kien jaf, sempliċement ma setax jesprimiha kif nagħmlu llum.
Il-frekwenzi taż-żewġ vibrazzjonijiet tal-korda li jiffurmaw ottava huma fi proporzjon 1:2, jiġifieri, il-frekwenza tan-nota ogħla hija d-doppju tal-frekwenza tan-nota t'isfel. Il-proporzjon ta 'vibrazzjoni korrett għall-ħames huwa 2:3, ir-raba' huwa 3:4, it-tielet maġġuri pur huwa 4:5, it-tielet minuri huwa 5:6. Dawn huma intervalli konsonanti pjaċevoli. Imbagħad hemm żewġ dawk newtrali, bi proporzjonijiet ta 'vibrazzjoni ta' 6:7 u 7:8, imbagħad dawk dissonanti - ton kbir (8:9), ton żgħir (9:10). Dawn il-frazzjonijiet (proporzjonijiet) huma simili għall-proporzjonijiet ta 'termini suċċessivi ta' sekwenza, li l-matematiċi (għal din ir-raġuni stess) isejħu serje armonika:
– teoretikament ammont infinit. Il-proporzjon tal-vibrazzjonijiet tal-ottava jista 'jinkiteb bħala 2:4 u poġġi f'ħames wieħed bejniethom: 2:3:4, jiġifieri, naqsmu l-ottava f'ħames u raba'. Din tissejjaħ diviżjoni tas-segmenti armoniċi fil-matematika:
Ross. 1. Għal mużiċist: taqsam l-ottava AB bil-ħames AC.Għall-matematiku: segmentazzjoni armonika
Xi rrid ngħid meta nitkellem (fuq) dwar somma teoretikament infinita, bħal serje armonika? Jirriżulta li somma bħal din tista 'tkun kwalunkwe numru kbir, il-ħaġa prinċipali hija li nżidu twil biżżejjed. L-ingredjenti qed isiru dejjem inqas, iżda hemm aktar u aktar minnhom. Dak li jipprevali? Hawnhekk nidħlu fil-qasam tal-analiżi matematika. Jirriżulta li l-ingredjenti huma eżawriti, iżda mhux malajr ħafna. Se nuri li, meta nkun ingredjenti biżżejjed, nista' nagħmel somma:
arbitrarjament kbir. Ejja nieħdu n = 1024 bħala eżempju Ejja niġbru l-kliem kif muri fil-figura:
F'kull parentesi, kull kelma hija akbar minn dik ta 'qabel, ħlief, ovvjament, l-aħħar waħda, li hija ugwali għaliha nnifisha. Fil-parentesi li ġejjin għandna 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 u 512 komponenti; il-valur tas-somma f'kull parentesi huwa akbar minn ½. Dan kollu huwa aktar minn 5½. Kalkoli aktar preċiżi juru li dan l-ammont huwa bejn wieħed u ieħor 7,50918. Mhux ħafna, imma dejjem, u tista 'tara li billi nieħu n kwalunkwe kbir, nista' negħleb kull numru. Dan oerhört bil-mod (per eżempju, jaqbżu l-għaxra bl-ingredjenti biss) iżda t-tkabbir bla tarf dejjem affaxxinat lill-matematiċi.
Vjaġġ lejn l-infinità b'serje armonika
Hawn riddle għal xi matematika pjuttost serja. Għandna provvista illimitata ta 'blokki rettangolari (x'qed ngħid, rettangolari!) B'dimensjonijiet ta', ngħidu aħna, 4 × 2 × 1. Ikkunsidra sistema li tikkonsisti minn diversi (fuq fig. 2 - erba') blokki li jinsabu b'tali mod li l-ewwel ikun inklinat b'½ tat-tul tiegħu, it-tieni minn fuq b'¼ u l-bqija, it-tielet b'sitta. Ukoll, forsi biex tagħmilha verament stabbli, ejja nxaqleb l-ewwel briks ftit inqas. Għall-kalkoli dan ma jimpurtax.
Ross. 2. Determinazzjoni taċ-ċentru tal-gravità
Huwa wkoll faċli li tifhem li peress li l-figura magħmula mill-ewwel żewġ blokki (li jgħoddu minn fuq) għandha ċentru ta 'simetrija fil-punt B, allura B huwa ċ-ċentru tal-gravità. Ejja niddeterminaw ġeometrikament iċ-ċentru tal-gravità ta 'sistema komposta minn tliet blokki ta' fuq. Argument sempliċi ħafna jkun biżżejjed hawnhekk. Ejja naqsmu mentalment il-kompożizzjoni ta 'tliet blokki f'żewġ ta' fuq u t-tielet waħda t'isfel. Dan iċ-ċentru għandu jkun fuq is-sezzjoni li tgħaqqad iċ-ċentri tal-gravità taż-żewġ partijiet. F'liema punt f'dan l-episodju?
Hemm żewġ modi ta 'deżinjazzjoni. Fl-ewwel, se nużaw l-osservazzjoni li dan iċ-ċentru għandu jkun fin-nofs tal-piramida ta 'tliet blokki, jiġifieri, fuq il-linja dritta li taqsam it-tieni, blokka tan-nofs. Fit-tieni metodu, nirrealizzaw li peress li ż-żewġ blokki ta 'fuq għandhom massa totali darbtejn dik ta' blokka waħda #3 (hawn fuq), iċ-ċentru tal-gravità f'din it-taqsima għandu jkun id-doppju ta' B daqs iċ-ċentru S tat-tielet. blokk. Bl-istess mod, insibu l-punt li jmiss: aħna ngħaqqdu ċ-ċentru misjub tat-tliet blokki maċ-ċentru S tar-raba 'blokk. Iċ-ċentru tas-sistema kollha jinsab fl-għoli 2 u fil-punt li jaqsam is-segment b'1 sa 3 (jiġifieri, b'¾ tat-tul tiegħu).
Il-kalkoli li se nwettqu ftit aktar iwasslu għar-riżultat muri fil-Fig. fig 3. Iċ-ċentri ta’ gravità suċċessivi jitneħħew mit-tarf tal-lemin tal-blokka t’isfel billi:
Għalhekk, il-projezzjoni taċ-ċentru tal-gravità tal-piramida hija dejjem fil-bażi. It-torri mhux se jinżel. Issa ejja nħarsu lejn fig. 3 u għal mument ejja nużaw il-ħames blokk minn fuq bħala bażi (dik immarkata b'kulur isbaħ). Fuq inklinat:
għalhekk ix-xifer tax-xellug tiegħu huwa 1 aktar mit-tarf tal-lemin tal-bażi. Hawn it-tbandil li jmiss:
X'inhu l-akbar swing? Diġà nafu! M'hemm l-ebda akbar! Meta tieħu anke l-iżgħar blokki, tista 'tikseb overhang ta' kilometru wieħed - sfortunatament, matematikament biss: id-Dinja kollha ma tkunx biżżejjed biex tibni tant blokki!
Ross. 3. Żid aktar blokki
Issa l-kalkoli li ħallejna hawn fuq. Aħna ser nikkalkulaw id-distanzi kollha "orizzontalment" fuq l-assi x, għax dan kollu huwa dwar. Il-punt A (iċ-ċentru tal-gravità tal-ewwel blokk) huwa 1/2 mit-tarf tal-lemin. Il-punt B (iċ-ċentru tas-sistema ta 'żewġ blokki) jinsab 1/4 mit-tarf tal-lemin tat-tieni blokk. Ħalli l-punt tat-tluq ikun it-tmiem tat-tieni blokk (issa se ngħaddu għat-tielet). Pereżempju, fejn huwa ċ-ċentru tal-gravità tal-blokka waħda #3? Nofs it-tul ta 'din il-blokk, għalhekk jitneħħa mill-punt ta' referenza tagħna b'1/2 + 1/4 = 3/4. Fejn hu l-punt C? F'żewġ terzi tas-segment bejn 3/4 u 1/4, jiġifieri fil-punt li, aħna nibdlu l-punt tal-bidu għat-tarf tal-lemin tat-tielet blokk. Iċ-ċentru tal-gravità tas-sistema ta 'tliet blokki issa jitneħħa mill-punt ta' referenza l-ġdid, eċċ. Ċentru tal-gravità Cn ta 'torri magħmul minn blokki n huwa 1/2n bogħod mill-punt ta' referenza istantanju, li huwa t-tarf tal-lemin tal-blokka bażi, jiġifieri l-blokk nth minn fuq.
Peress li s-serje ta 'reċiproki diverġenti, nistgħu niksbu kwalunkwe varjazzjoni kbira. Jista' dan fil-fatt jiġi realizzat? Huwa bħal torri briks bla tarf - illum jew għada se kollass taħt il-piż tiegħu stess. Fl-iskema tagħna, ineżattezzi minimi fit-tqegħid tal-blokki (u ż-żieda bil-mod fis-somom tar-ringieli parzjali) ifissru li mhux se naslu 'l bogħod ħafna.
