Лем, Токарчук, Краков, математика
3-7 сентября 2019 г. в Кракове состоялся юбилейный конгресс Польского математического общества. Юбилейный, потому что к столетию со дня основания Общества. Она существовала в Галиции с 1-х годов (без прилагательного, что польско-либерализм императора FJ1919 имел свои пределы), но как общенациональная организация действовала только с 1919 года. Крупные успехи польской математики относятся к 1939-м годам XNUMX-XNUMX гг. XNUMX г. в Университете Яна Казимира во Львове, но съезд там не мог состояться – да это и не лучшая идея.
Встреча была очень праздничной, полной сопутствующих мероприятий (включая выступление Яцека Вуйчицкого в замке в Неполомицах). С основными лекциями выступили 28 спикеров. Они были на польском языке, потому что приглашенные гости были поляками – не обязательно в смысле гражданства, но признавая себя поляками. Ах да, только тринадцать лекторов приехали из польских научных учреждений, остальные пятнадцать – из США (7), Франции (4), Англии (2), Германии (1) и Канады (1). Что ж, это хорошо известное явление в футбольных лигах.
Лучшие постоянно выступают за границей. Немного грустно, но ведь свобода есть свобода. Несколько польских математиков сделали недостижимую в Польше карьеру за океаном. Деньги здесь играют второстепенную роль, но я не хочу писать на подобные темы. Может быть, всего два комментария.
В России, а до этого в Советском Союзе это было и есть на самом сознательном уровне… и как-то никто не хочет туда эмигрировать. В свою очередь, в Германии на должность профессора в любом университете претендует около десятка кандидатов (коллеги из Констанцского университета рассказали, что за год у них было 120 заявлений, 50 из которых очень хорошие, а 20 отличные).
Немногие из лекций юбилейного конгресса можно резюмировать в нашем ежемесячнике. Рядовому читателю ничего не скажут такие заголовки, как «Пределы разреженных графов и их приложения» или «Линейная структура и геометрия подпространств и факторпространств для нормализованных пространств большой размерности». Вторую тему представил мой друг с первых курсов, Николь Томчак.
Несколько лет назад она была номинирована за достижение, представленное на этой лекции. Midalja Fields – эквивалент для математиков. Пока только одна женщина получила эту награду. Также стоит отметить лекцию Анна Марциняк-Чохра (Гейдельбергский университет) «Роль механистических математических моделей в медицине на примере моделирования лейкемии».
поступил в медицину. В Варшавском университете группа под руководством проф. Ежи Тюрин.
Название лекции будет непонятно Читателям Веслава Низиол (z prestiżowej Высшая педагогическая школа) “-адическая теория Ходжа«. Тем не менее именно эту лекцию я решил обсудить здесь.
Геометрия -адических миров
Дело начинается с простых мелочей и. Вы помните, Читатель, метод письменного обмена? Определенно. Вспомните беззаботные годы начальной школы. Разделим 125051 на 23 (это действие слева). А знаете ли вы, что он может быть другим (действие справа)?
Этот новый метод интересен. Идем с конца. Нам нужно разделить 125051 на 23. На что нужно умножить 23, чтобы последняя цифра была 1? Ищем в памяти и имеем :=7. Последняя цифра результата 7. Умножаем, вычитаем, получаем 489. Как нужно умножить 23, чтобы в итоге получилось 9? Конечно, на 3. Доходим до того, что определяем все цифры результата. Мы находим его непрактичным и более сложным, чем наш обычный метод – но это вопрос практики!
Иной оборот дело принимает, когда храбрец не делится на делитель полностью. Давайте проведем деление и посмотрим, что получится.
Слева обычный школьный путь. Справа «наши странные».
Мы можем проверить оба результата умножением. Первое мы понимаем: одна треть числа 4675 составляет одну тысячу пятьсот пятьдесят восемь, а три в периоде. Второй не имеет смысла: что это за число, перед которым бесконечное количество шестерок, а затем 8225?
Оставим на мгновение вопрос о смысле. Давайте играть. Итак, давайте разделим 1 на 3, а затем 1 на 7, что составляет одну треть и одну седьмую. Мы легко получим:
1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.
Эта последняя строка означает: блок 285714 бесконечно повторяется в начале, и, наконец, их три. Кто не верит, вот проверка:
Теперь добавим дроби:
Затем складываем полученные странные числа, и мы получаем (проверим) такое же странное число.
......95238095238095238095238010
Мы можем проверить, что это равно
Суть еще предстоит увидеть, но арифметика верна.
Еще один пример.
Обычное, хотя и большое, число 40081787109376 имеет интересное свойство: его квадрат также заканчивается на 40081787109376. Если не верите, пусть проверит и… поищет следующее слева, т.е. число x40081787109376, которое ( х40081787109376)2 также заканчивается на x40081787109376.
Наконечник. У нас есть 400817871093762= 16065496 57881340081787109376, поэтому следующая цифра является дополнением от трех до десяти, то есть 7. Давайте проверим: 7400817871093762= 5477210516110077400817 87109376.
Вопрос, почему это так, является сложной задачей. Это проще: найти похожие окончания чисел, оканчивающихся на 5. Продолжая процесс нахождения следующих цифр до бесконечности, мы придем к таким «числам», что 2=2= (и ни одно из этих чисел не равно нулю или единице).
мы хорошо понимаем. Чем дальше после запятой, тем менее важной является цифра. В инженерных расчетах важна первая цифра после запятой, а также вторая, но во многих случаях можно считать, что отношение длины окружности к ее диаметру равно 3,14. Конечно, в авиационную отрасль нужно включить больше цифр, но я не думаю, что их будет больше десяти.
Имя появилось в названии статьи Stanislav Lem (1921-2006), а также наш новый лауреат Нобелевской премии. Леди Olga Tokarchuk Я упомянул об этом только потому, что кричащая несправедливостьДело в том, что Станислав Лем не получил Нобелевской премии по литературе. Но это не в нашем углу.
Лем часто предвидел будущее. Он задавался вопросом, что произойдет, когда они станут независимыми от людей. Сколько фильмов на эту тему появилось за последнее время! Лем довольно точно предсказал и описал оптический ридер и фармакологию будущего.
Он знал математику, хотя иногда относился к ней как к украшению, не заботясь о правильности расчетов. Например, в рассказе «Испытание» пилот «Пиркс» выходит на орбиту B68 с периодом вращения 4 часа 29 минут, а инструкция — 4 часа 26 минут. Он помнит, что они рассчитали с погрешностью 0,3 процента. Он отдает данные Калькулятору, а калькулятор отвечает, что все нормально… Ну нет. Три десятых процента от 266 минут меньше минуты. Но разве эта ошибка что-то меняет? Может, это было специально?
Почему я пишу об этом? Многие математики также поднимали этот вопрос: представьте себе сообщество. У них нет нашего человеческого разума. Для нас 1609,12134 и 1609,23245 — очень близкие числа — хорошие приближения к английской миле. Однако компьютеры могут считать числа 468146123456123456 и 9999999123456123456 близкими. Они имеют одинаковые двенадцатизначные окончания.
Чем больше общих цифр в конце, тем ближе числа. И это приводит к так называемому расстояния -адический. Пусть на мгновение р будет равно 10; почему просто “на время”, объясню…сейчас. 10-точечное расстояние чисел, написанных выше, равно
или одна миллионная – потому что эти числа имеют шесть общих цифр в конце. Все целые числа отличаются от нуля на единицу или меньше. Я даже не буду писать шаблон, потому что это не имеет значения. Чем больше одинаковых цифр в конце, тем ближе числа (для человека, наоборот, считаются начальные числа). Важно, чтобы p было простым числом.
Затем – им нравятся нули и единицы, поэтому они видят все в этих шаблонах: 0100110001 1010101101010101011001010101010101111.
В романе «Глос пана» Станислав Лем нанимает ученых, которые пытаются прочитать сообщение, отправленное из загробной жизни, конечно, с кодом ноль-единица. Нам кто-нибудь пишет? Лем утверждает, что «любое сообщение можно прочитать, если это сообщение о том, что кто-то хотел нам что-то сказать». Но так ли это? Я оставлю читателей с этой дилеммой.
Мы живем в трехмерном пространстве R3. Письмо R напоминает, что оси состоят из действительных чисел, т. е. целых чисел, отрицательных и положительных, нуля, рациональных (т. е. дробей) и иррациональных, с которыми читатели познакомились в школе (), и чисел, известных как трансцендентные числа, недоступные в алгебре (это число π, более двух тысяч лет связывающее диаметр круга с его окружностью).
Что, если бы на осях нашего пространства стояли -адические числа?
Ежи Миодушевский, математик из Силезского университета, утверждает, что это могло быть так, и даже что это может быть так. Мы можем (говорит Ежи Миодушевский) занимать с такими существами одно и то же место в пространстве, не мешая и не видя друг друга.
Итак, у нас есть вся геометрия «их» мира для исследования. Вряд ли «они» думают о нас так же и тоже изучают нашу геометрию, потому что наш — пограничный случай всех «их» миров. «Их», то есть всех адических миров, где они простые числа. В частности, = 2 и этот увлекательный мир ноль-единица…
Здесь читатель статьи может рассердиться и даже разозлиться. «Это та чепуха, которой занимаются математики?» Они фантазируют, как пьют водку после обеда, причем за мои деньги (= налогоплательщика). И разогнать их на четыре ветра, пусть идут в совхозы… ах, нет больше совхозов!
Расслабляться. у них всегда была склонность к таким шуткам. Позвольте мне только упомянуть теорему о бутербродах: если у меня есть бутерброд с сыром и ветчиной, я могу разрезать его одним разрезом, чтобы разделить пополам булку, ветчину и сыр. Это бесполезно на практике. Дело в том, что это всего лишь шутливое применение интересной общей теоремы из функционального анализа.
Насколько серьезно иметь дело с -адическими числами и связанной с ними геометрией? Напомню читателю, что рациональные числа (упрощенно: дроби) плотно лежат на прямой, но не заполняют ее вплотную.
В «дырках» обитают иррациональные числа. Их много, бесконечно много, но можно также сказать, что их бесконечность больше, чем у простейших, в которых мы считаем: один, два, три, четыре… и так до ∞. Это наше человеческое заполнение «дыр». Мы унаследовали эту ментальную структуру от pitagoriċi.
Но для математика интересно и важно то, что нельзя «заполнить» эти дыры иррациональными и p-адическими числами (для всех простых p). Для тех читателей, которые это понимают (а это преподавали в каждой средней школе тридцать лет назад), суть в том, что каждая последовательность, которая удовлетворяет состояние Коши, сходится.
Пространство, в котором это верно, называется полным («ничего не упущено»). Я вспомню число 547721051611007740081787109376.
Последовательность 0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 и так далее сходится к некоторому пределу, равному примерно 0,5477210516110077400 81787109376.
Однако с точки зрения 10-адического расстояния последовательность чисел 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 и так далее также сходится к «странному» числу… 547721051 611007740081787109376.
Но даже это может быть недостаточным аргументом, чтобы давать ученым государственные деньги. В общем, мы (математики) защищаемся, говоря, что невозможно предсказать, для чего будет полезно наше исследование. Почти наверняка каждый будет для чего-то полезен и что только действие на широком фронте имеет шансы на успех.
Одно из величайших изобретений — рентгеновский аппарат — было создано после того, как радиоактивность была случайно открыта Беккерела. Если бы не этот случай, многие годы исследований, вероятно, были бы бесполезны. «Мы ищем способ сделать рентгеновский снимок человеческого тела».
Наконец, самое главное. Все согласны с тем, что роль играет умение решать уравнения. И здесь наши странные номера хорошо защищаются. Соответствующая теорема (Минковского ненавижу) говорит, что некоторые уравнения могут быть решены в рациональных числах тогда и только тогда, когда они имеют действительные корни и корни в каждом -адическом теле.
Более-менее такой подход был представлен Эндрю Уайлс, решившее самое известное математическое уравнение последних трехсот лет — рекомендую читателям ввести его в поисковик «Великая теорема Ферма».
