HEKK LIL MIN, jiġifieri: IPROVA FEJN TISTA - parti 2

Fl-episodju preċedenti, ttrattajna s-Sudoku, logħba aritmetika li fiha n-numri huma bażikament irranġati f'diversi dijagrammi skont ċerti regoli. L-aktar varjant komuni huwa bord taċ-ċess 9 × 9, addizzjonalment maqsum f'disa 'ċelluli 3 × 3. In-numri minn 1 sa 9 iridu jiġu ssettjati fuqha sabiex ma jirrepetux la f'ringiela vertikali (il-matematiċi jgħidu: f'kolonna) jew f'ringiela orizzontali (il-matematiċi jgħidu: f'ringiela) - u, barra minn hekk, sabiex ma jirrepetux. irrepeti fi kwalunkwe kwadru iżgħar.

Na fig. 1 naraw dan il-puzzle f'verżjoni aktar sempliċi, li huwa kwadru 6 × 6 maqsum f'rettangoli 2 × 3. Indaħħlu n-numri 1, 2, 3, 4, 5, 6 fiha - sabiex ma jirrepetux vertikalment, la orizzontalment, u lanqas f'kull wieħed mill-eżagoni magħżula.

Ejja nippruvaw murija fil-kwadru ta 'fuq. Tista' timlaha bin-numri mill-1 sas-6 skont ir-regoli stabbiliti għal din il-logħba? Huwa possibbli - iżda ambigwu. Ejja naraw - iġbed kwadru fuq ix-xellug jew kwadru fuq il-lemin.

Nistgħu ngħidu li din mhix il-bażi għall-puzzle. Normalment nassumu li puzzle għandu soluzzjoni waħda. Il-kompitu li jinstabu bażijiet differenti għas-Sudoku "kbir", 9x9, huwa kompitu diffiċli u m'hemm l-ebda ċans li tissolva kompletament.

Konnessjoni importanti oħra hija s-sistema kontradittorja. Il-kwadru tan-nofs t'isfel (dak bin-numru 2 fir-rokna t'isfel tal-lemin) ma jistax jimtela. Għaliex?

Pjaċir u Irtiri

Nilagħbu fuq. Ejja nużaw l-intuwizzjoni tat-tfal. Huma jemmnu li d-divertiment huwa introduzzjoni għat-tagħlim. Ejja mmorru fl-ispazju. mixgħula fig. 2 kulħadd jara l-grid tetraedruminn blalen, per eżempju, blalen tal-ping-pong? Iftakar il-lezzjonijiet tal-ġeometrija tal-iskola. Il-kuluri fuq in-naħa tax-xellug ta 'l-istampa jispjegaw dak li hija mwaħħla ma' meta tgħaqqad il-blokka. B'mod partikolari, tliet blalen tal-kantunieri (aħmar) se jkunu inkollati f'wieħed. Għalhekk, għandhom ikunu l-istess numru. Forsi 9. Għaliex? U għaliex le?

Oh jien ma kliemha kompiti. Din tinstema xi ħaġa bħal din: huwa possibbli li n-numri minn 0 sa 9 jiġu miktuba fil-grilja viżibbli sabiex kull wiċċ ikun fih in-numri kollha? Il-kompitu mhuwiex diffiċli, imma kemm għandek bżonn timmaġina! Mhux se nħassar il-pjaċir tal-qarrejja u mhux se nagħti soluzzjoni.

Din hija forma sabiħa ħafna u sottovalutata. ottaedru regolari, mibnija minn żewġ piramidi (=piramidi) b'bażi ​​kwadra. Kif jissuġġerixxi l-isem, l-octahedron għandu tmien uċuħ.

Hemm sitt vertiċi f'ottaedru. Huwa jikkontradixxi kubuli għandha sitt uċuħ u tmien vertiċi. It-truf taż-żewġ ċapep huma l-istess - tnax kull wieħed. Dan solidi doppji - dan ifisser li billi tgħaqqad iċ-ċentri ta 'l-uċuħ tal-kubu nikseb ottaedru, u ċ-ċentri ta' l-uċuħ ta 'l-ottaedru se jagħtuna kubu. Dawn iż-żewġ ħotob iwettqu ("għax għandhom") Formula ta' Euler: Is-somma tan-numru ta' vertiċi u n-numru ta' uċuħ hija 2 aktar min-numru ta' truf.

3. Ottaedru regolari fi projezzjoni parallela u kannizzata ottaedru magħmul minn sferi b’tali mod li kull tarf ikollu erba’ sferi.

Kompitu 1 L-ewwel, ikteb l-aħħar sentenza tal-paragrafu preċedenti billi tuża formula matematika. Fuq il fig. 3 tara grilja ottaedrika, magħmula wkoll minn sferi. Kull tarf għandu erba 'blalen. Kull wiċċ huwa trijangolu ta 'għaxar sferi. Il-problema hija stabbilita b'mod indipendenti: huwa possibbli li jitpoġġew numri minn 0 sa 9 fiċ-ċrieki tal-grilja sabiex wara li twaħħal korp solidu, kull ħajt ikun fih in-numri kollha (jisegwi li mingħajr ripetizzjoni). Bħal qabel, l-akbar diffikultà f'dan il-kompitu hija kif il-malja tiġi trasformata f'korp solidu. Ma nistax nispjegaha bil-miktub, għalhekk lanqas hawn m'iniex nagħti s-soluzzjoni.

4. Żewġ icosahedrons minn blalen tal-ping-pong. Innota l-iskema tal-kulur differenti.

diġà Plato (u għex fis-sekli XNUMX-XNUMX QK) kien jaf il-poliedri regolari kollha: tetrahedron, cube, octahedron, dodecaedri i icosahedron. Hija tal-għaġeb kif wasal hemm – la lapes, karta, pinna, kotba, smartphone, internet! Mhux se nitkellem dwar id-dodecahedron hawn. Iżda s-sudoku icosahedral huwa interessanti. Aħna naraw dan f'daqqa fuq illustrazzjoni 4u n-netwerk tagħha fig 5.

5. Malji regolari tal-icosahedron.

Bħal qabel, din mhix grilja fis-sens li niftakru (?!) mill-iskola, iżda mod kif twaħħal triangoli minn blalen (blalen).

Kompitu 2 Kemm-il blalen hemm bżonn biex tinbena icosahedron bħal dan? Ir-raġunament li ġej għadu jgħodd: peress li kull wiċċ huwa trijangolu, jekk irid ikun hemm 20 wiċċ, allura hemm bżonn daqs 60 sfera?

6. Grid ta' icosahedron minn sferi. Kull ċirku huwa, pereżempju, ballun tal-ping-pong, iżda l-kostruzzjoni ta 'ċrieki fuq ċrieki mmarkati bl-istess kulur jingħaqad f'wieħed. Allura għandna tnax-il sfera (= tnax-il vertiċi: aħmar, blu, vjola, blu u tmien isfar).

Huwa faċli li wieħed jara li tliet numri fl-icosahedron mhumiex biżżejjed. B'mod aktar preċiż: huwa impossibbli li jiġu enumerati vertiċi bin-numri 1, 2, 3 sabiex kull wiċċ (trijangolari) ikollu dawn it-tliet numri u ma jkunx hemm ripetizzjonijiet. Huwa possibbli b'erba' numri? Iva huwa possibbli! Ejja nħarsu lejn Ross. 6 u 7.

7. Hawn kif innumera l-isferi li jiffurmaw l-ikosaedru sabiex kull wiċċ ikun fih numri għajr 1, 2, 3, 4. Liema mill-korpi fil-fig. 4 huwa kkulurit bħal dan?

Kompitu 3 Tlieta mill-erba’ numri jistgħu jintgħażlu f’erba’ modi: 123, 124, 134, 234. Sib ħames trijangoli bħal dawn fl-ikosaedru fil-fig. 7 (kif ukoll minn illustrazzjonijiet waħda).

Assenjazzjoni 4 (jeħtieġ immaġinazzjoni spazjali tajba ħafna). L-ikosaedru għandu tnax-il vertiċi, li jfisser li jista' jiġi inkollat ​​flimkien minn tnax-il ballun (fig. 7). Innota li hemm tliet vertiċi (=blalen) ittikkettjati b'1, tlieta b'2, eċċ. Għalhekk, blalen tal-istess kulur jiffurmaw trijangolu. X'inhu dan it-trijangolu? Forsi ekwilaterali? Erġa' ħares illustrazzjonijiet waħda.

Il-kompitu li jmiss għan-nannu / nanna u neputi / neputi. Il-ġenituri jistgħu fl-aħħar jippruvaw idejhom ukoll, iżda għandhom bżonn paċenzja u ħin.

Kompitu 5 Ixtri tnax (preferibbilment 24) ballun tal-ping-pong, xi erba’ kuluri taż-żebgħa, pinzell, u l-kolla t-tajba – ma nirrakkomandax dawk ta’ malajr bħal Superglue jew Droplet għax jinxfu malajr wisq u huma perikolużi għat-tfal. Kolla fuq l-icosahedron. Ilbes lin-neputija tiegħek bi t-shirt li tinħasel (jew tintrema) immedjatament wara. Għatti l-mejda bil-fojl (preferibbilment bil-gazzetti). Kulur bir-reqqa l-icosahedron b'erba' kuluri 1, 2, 3, 4, kif muri fil-fig. fig. 7. Tista 'tbiddel l-ordni - l-ewwel ikkulurit il-blalen u mbagħad waħħalhom. Fl-istess ħin, ċrieki ċkejkna għandhom jitħallew mhux miżbugħin sabiex iż-żebgħa ma teħelx maż-żebgħa.

Issa l-aktar kompitu diffiċli (b'mod aktar preċiż, is-sekwenza kollha tagħhom).

Assenjazzjoni 6 (B'mod aktar speċifiku, it-tema ġenerali). Ipplottja l-icosahedron bħala tetrahedron u octahedron fuq Ross. 2 u 3 Dan ifisser li għandu jkun hemm erba 'blalen fuq kull tarf. F'dan il-varjant, il-kompitu jieħu ħafna ħin u anke jiswa ħafna flus. Nibdew billi nsiru nafu kemm għandek bżonn blalen. Kull wiċċ għandu għaxar sferi, għalhekk l-icosahedron jeħtieġ mitejn? Le! Irridu niftakru li ħafna blalen huma maqsuma. Kemm għandu xfar għandu icosahedron? Jista 'jiġi kkalkulat bir-reqqa, imma għalxiex hi l-formula Euler?

w–k+s=2

fejn w, k, s huma n-numru ta' vertiċi, truf, u uċuħ, rispettivament. Niftakru li w = 12, s = 20, li jfisser k = 30. Għandna 30 truf tal-icosahedron. Tista 'tagħmel dan b'mod differenti, għaliex jekk ikun hemm 20 trijangolu, allura għandhom biss 60 truf, iżda tnejn minnhom huma komuni.

Ejja nikkalkulaw kemm għandek bżonn blalen. F'kull trijangolu hemm ballun intern wieħed biss - la fil-quċċata ta 'ġisem tagħna, u lanqas fit-tarf. Għalhekk, għandna total ta '20 ballun bħal dawn. Hemm 12-il quċċata. Kull tarf għandu żewġ blalen mhux vertiċi (huma ġewwa t-tarf, iżda mhux ġewwa l-wiċċ). Peress li hemm 30 tarf, hemm 60 marbles, iżda tnejn minnhom huma kondiviżi, li jfisser li għandek bżonn biss 30 marbles, għalhekk għandek bżonn total ta '20 + 12 + 30 = 62 marbles. Blalen jistgħu jinxtraw għal mill-inqas 50 pennies (ġeneralment aktar għaljin). Jekk iżżid l-ispiża tal-kolla, toħroġ ... ħafna. It-twaħħil tajjeb jeħtieġ diversi sigħat ta 'xogħol iebes. Flimkien huma adattati għal passatemp rilassanti - nirrakkomandahom minflok, pereżempju, jaraw it-TV.

Irtir 1. Fis-sensiela ta’ films ta’ Andrzej Wajda Years, Days, żewġt irġiel jilagħbu ċ-ċess “għax b’xi mod iridu jgħaddu l-ħin sal-pranzu”. Isseħħ fil-Galiċja Krakovja. Tabilħaqq: il-gazzetti diġà nqraw (imbagħad kellhom 4 paġni), it-TV u t-telefon għadhom ma ġewx ivvintati, m'hemmx logħbiet tal-futbol. Dwejjaq fil-għadajjar. F'sitwazzjoni bħal din, in-nies ħarġu b'divertiment għalihom infushom. Illum għandnahom wara li tagħfas il-kontroll mill-bogħod...

Irtir 2. Fil-laqgħa tal-2019 tal-Assoċjazzjoni tal-Għalliema tal-Matematika, professur Spanjol wera programm tal-kompjuter li jista 'jpinġi ħitan solidi fi kwalunkwe kulur. Kien ftit creepy, għax ġibdu biss l-idejn, kważi qatgħu l-ġisem. Ħsibt bejni u bejn ruħi: kemm tista 'tieħu gost minn tali "dell"? Kollox jieħu żewġ minuti, u mar-raba’ ma niftakru xejn. Sadanittant, "xogħol tal-labar" antikwat jikkalma u jeduka. Min ma jemminx, ħallih jipprova.

Ejja mmorru lura għas-seklu XNUMX u għar-realtajiet tagħna. Jekk ma rridux rilassament fil-forma ta 'inkullar impenjattiv ta' blalen, allura se niġbed mill-inqas gradilja ta 'icosahedron, li t-truf tagħha għandhom erba' blalen. Kif tagħmel dan? Aqta’ sew fig 6. Il-qarrej attent diġà qed jaħkem il-problema:

Kompitu 7 Huwa possibbli li jiġu enumerati l-blalen b'numri minn 0 sa 9 sabiex dawn in-numri kollha jidhru fuq kull wiċċ ta 'icosahedron bħal dan?

Għal xiex qed nitħallsu?

Illum ħafna drabi nistaqsu lilna nfusna l-mistoqsija dwar l-iskop tal-attivitajiet tagħna, u l-"kontribwent griż" jistaqsi għaliex għandu jħallas lill-matematiċi biex isolvu puzzles bħal dawn?

It-tweġiba hija pjuttost sempliċi. Tali "puzzles", interessanti fihom infushom, huma "framment ta 'xi ħaġa aktar serja." Wara kollox, parati militari huma biss parti esterna u spettakolari ta 'servizz diffiċli. Se nagħti eżempju wieħed biss, imma se nibda b'suġġett matematiku stramb iżda rikonoxxut internazzjonalment. Fl-1852, student Ingliż staqsa lill-professur tiegħu jekk kienx possibbli li kulur mappa b’erba’ kuluri biex il-pajjiżi ġirien dejjem jintwerew b’kuluri differenti? Ħa nżid li aħna ma nqisux “ġirien” dawk li jiltaqgħu f’punt wieħed biss, bħall-istati ta’ Wyoming u Utah fl-Istati Uniti. Il-professur ma kienx jaf... u l-problema kienet ilha aktar minn mitt sena tistenna soluzzjoni.

8. Icosahedron minn blokki RECO. Ir-rifletturi tal-flash juru x'għandu komuni l-icosahedron mat-trijangolu u l-pentagon. Ħames trijangoli jikkonverġu f'kull vertiċi.

Dan ġara b'mod mhux mistenni. Fl-1976, grupp ta’ matematiċi Amerikani kitbu programm biex isolvu din il-problema (u ddeċidew: iva, erba’ kuluri dejjem ikunu biżżejjed). Din kienet l-ewwel prova ta’ fatt matematiku miksuba bl-għajnuna ta’ “magna matematika” – kif kien jissejjaħ kompjuter nofs seklu ilu (u saħansitra qabel: “moħħ elettroniku”).

Hawnhekk hawn “mappa tal-Ewropa” murija apposta (fig. 9). Dawk il-pajjiżi li għandhom fruntiera komuni huma konnessi. Il-kulur tal-mappa huwa l-istess bħall-kulur taċ-ċrieki ta 'din il-graff (imsejjaħ il-graff) sabiex l-ebda ċirku konness ma jkun tal-istess kulur. Ħarsa lejn Liechtenstein, il-Belġju, Franza u l-Ġermanja turi li tliet kuluri mhumiex biżżejjed. Jekk tixtieq, Qarrej, ikkuluriha b'erba' kuluri.

9. Min imiss ma' min fl-Ewropa?

Ukoll, iva, imma jiswew il-flus tal-kontribwenti? Mela ejja nħarsu lejn l-istess graff ftit differenti. Tinsa li hemm stati u fruntieri. Ħalli ċ-ċrieki jissimbolizzaw pakketti ta 'informazzjoni li għandhom jintbagħtu minn punt għal ieħor (per eżempju, minn P sa EST), u s-segmenti jirrappreżentaw konnessjonijiet possibbli, li kull wieħed minnhom għandu bandwidth tiegħu stess. Ibgħat kemm jista' jkun malajr?

L-ewwel, ejja nħarsu lejn sitwazzjoni simplifikata ħafna, iżda wkoll interessanti ħafna mil-lat matematiku. Irridu nibagħtu xi ħaġa mill-punt S (= bħala bidu) sal-punt M (= finitura) billi tuża netwerk ta 'konnessjoni bl-istess bandwidth, ngħidu aħna 1. Naraw dan f' fig. 10.

10. Netwerk ta' konnessjonijiet minn Statsyika Zdrój għal Megapolis.

Ejja nimmaġinaw li madwar 89 bit ta 'informazzjoni jeħtieġ li jintbagħtu minn S għal M. L-awtur ta’ dan il-kliem iħobb il-problemi dwar il-ferroviji, u għalhekk jimmaġina li huwa maniġer fi Stacie Zdrój, minn fejn irid jibgħat 144 vagun. għall-istazzjon tal-metropoli. Għaliex eżattament 144? Minħabba li, kif se naraw, dan se jintuża biex jiġi kkalkulat il-fluss tan-netwerk kollu. Il-kapaċità hija 1 f'kull lott, i.e. karozza waħda tista 'tgħaddi għal kull unità ta' ħin (bit ta 'informazzjoni waħda, possibilment ukoll Gigabyte).

Ejja niżguraw li l-karozzi kollha jiltaqgħu fl-istess ħin f'M. Kulħadd jasal hemm f'89 unità ta' ħin. Jekk għandi pakkett ta 'informazzjoni importanti ħafna minn S sa M x' nibgħat, inkissru fi gruppi ta' 144 unità u nimbottah kif hawn fuq. Il-matematika tiggarantixxi li dan se jkun l-aktar mgħaġġel. Kif kont naf li għandek bżonn 89? Fil-fatt qtajt, imma kieku ma nsibx, ikolli nsibha Ekwazzjonijiet Kirchhoff (xi ħadd jiftakar? - dawn huma ekwazzjonijiet li jiddeskrivu l-fluss tal-kurrent). Il-bandwidth tan-netwerk huwa 184/89, li huwa bejn wieħed u ieħor ugwali għal 1,62.

Dwar ferħ

Mill-mod, jogħġobni n-numru 144. Għoġobni nirkeb il-karozza tal-linja b'dan in-numru lejn il-Pjazza tal-Kastell f'Varsavja - meta ma kien hemm ebda Kastell Rjali restawrat ħdejha. Forsi qarrejja żgħażagħ jafu x'inhuma tużżana. Dan huwa 12-il kopja, iżda qarrejja anzjani biss jiftakru li tużżana tużżana, jiġifieri. 122=144, dan huwa l-hekk imsejjaħ lott. U kull min jaf il-matematika ftit aktar mill-kurrikulu tal-iskola immedjatament jifhem dan fig. 10 għandna numri Fibonacci u li l-bandwidth tan-netwerk huwa qrib in-"numru tad-deheb"

Fis-sekwenza Fibonacci, 144 huwa l-uniku numru li huwa kwadru perfett. Mija erbgħa u erbgħin huwa wkoll "numru ferħan." Hekk hu matematiku dilettanti Indjan Dattatreya Ramachandra Caprecar fl-1955, semmiet numri li huma diviżibbli bis-somma taċ-ċifri kostitwenti tagħhom:

Kieku kien jaf Adam Mickiewicz, żgur li kien kiteb le f’Dzyady: “Minn omm stramba; demmu hu l-eroj qodma tiegħu / U ismu erbgħa u erbgħin, biss aktar eleganti: U ismu hu mija erbgħa u erbgħin.

Ħu d-divertiment bis-serjetà

Nispera li kkonvinċejt lill-qarrejja li l-puzzles tas-Sudoku huma n-naħa divertenti tal-mistoqsijiet li żgur jixirqilhom li jittieħdu bis-serjetà. Ma nistax niżviluppa aktar dan is-suġġett. Oh, kalkolu sħiħ tal-bandwidth tan-netwerk mid-dijagramma pprovduta fuq fig. 9 il-kitba ta’ sistema ta’ ekwazzjonijiet kienet tieħu sagħtejn jew aktar – forsi anke għexieren ta’ sekondi (!) ta’ xogħol fuq il-kompjuter.