Mudelli sempliċi b'imġieba kumplessa jiġifieri kaos

Il-kompjuter huwa għodda li qed tintuża dejjem aktar mix-xjenzati biex jikxfu sigrieti moħbija bir-reqqa min-natura. L-immudellar, flimkien mal-esperiment u t-teorija, qed isir it-tielet mod biex tistudja d-dinja.

Tliet snin ilu, fl-Università tas-Silesia, bdejna programm biex nintegraw metodi tal-kompjuter fl-edukazzjoni. Bħala riżultat, inħolqu ħafna materjali didattiċi estremament eċċitanti, li jagħmilha aktar faċli u aktar profonda biex jiġu studjati ħafna suġġetti. Python intgħażlet bħala l-għodda ewlenija, li, flimkien mal-qawwa tal-libreriji xjentifiċi disponibbli, hija probabbilment l-aħjar soluzzjoni għal "esperimenti tal-kompjuter" b'ekwazzjonijiet, stampi jew data. Waħda mill-implimentazzjonijiet l-aktar interessanti ta 'workbench komplut hija Sage [2]. Hija integrazzjoni miftuħa ta' sistema tal-alġebra tal-kompjuter mal-lingwa Python, u tippermetti wkoll li tibda tilgħab immedjatament billi tuża web browser u waħda mill-għażliet ta' aċċess possibbli permezz ta' servizz cloud [3] jew server tal-kompjuter wieħed li fuqu l-interattiv. verżjoni ta 'dan l-artikolu hija bbażata fuq [4] .

Kaos fl-ekoloġija

Fl-ewwel snin tiegħu fl-Università ta’ Oxford, ix-xjenzat Awstraljan Robert May studja l-aspetti teoretiċi tad-dinamika demografika. Huwa ġabar fil-qosor ix-xogħol tiegħu f'dokument li deher fil-ġurnal Nature bit-titlu provokattiv "Mudelli matematiċi sempliċi b'dinamika kumplessa ħafna." Matul is-snin, dan id-dokument sar wieħed mill-aktar xogħlijiet ikkwotati fl-ekoloġija teoretika. X’qanqal interess bħal dan f’dan ix-xogħol?

Il-problema klassika tad-dinamika tal-popolazzjoni hija li tikkalkula l-popolazzjoni futura ta 'speċi partikolari, minħabba l-istat attwali tagħha. Matematikament, l-ekosistemi l-aktar sempliċi kienu dawk li fihom il-ħajja ta 'ġenerazzjoni waħda ta' popolazzjoni ddum staġun wieħed. Eżempju tajjeb huwa popolazzjoni ta’ insetti li jgħaddu minn metamorfosi sħiħa fi staġun wieħed, bħall-friefet. Iż-żmien huwa naturalment maqsum f'perjodi diskreti2 li jikkorrispondu għaċ-ċikli tal-ħajja tal-popolazzjoni. Għalhekk, l-ekwazzjonijiet li jiddeskrivu tali ekosistema naturalment għandhom l-hekk imsejħa ħin diskret, i.e. t = 1,2,3.... Robert May kien involut, fost affarijiet oħra, f’dinamika bħal din. Fir-raġunament tiegħu, huwa ssimplifika l-ekosistema għal speċi waħda, li l-popolazzjoni tagħha kienet funzjoni kwadratika tal-popolazzjoni tas-sena ta 'qabel. Minn fejn ġie dan il-mudell?

L-ekwazzjoni diskreta l-aktar sempliċi li tiddeskrivi l-evoluzzjoni ta’ popolazzjoni hija mudell lineari:

fejn Ni hija l-popolazzjoni fl-istaġun i-th, u Ni + 1 jiddeskrivi l-popolazzjoni fl-istaġun li jmiss. Huwa faċli li wieħed jara li ekwazzjoni bħal din tista 'twassal għal tliet xenarji. Meta a = 1, l-evoluzzjoni mhux se tbiddel id-daqs tal-popolazzjoni, u <1 twassal għall-estinzjoni, u l-każ a > 1 ifisser tkabbir illimitat tal-popolazzjoni. Dan se jwassal għal żbilanċ fin-natura. Peress li kollox fin-natura huwa limitat, jagħmel sens li din l-ekwazzjoni tiġi aġġustata biex tqis l-ammont limitat ta 'riżorsi. Immaġina li l-pesti jieklu l-istess ammont ta 'qamħ kull sena. Jekk l-insetti huma ftit fin-numru meta mqabbla mal-ammont ta 'ikel li jistgħu jirriproduċu, jistgħu jirriproduċu b'kapaċità riproduttiva sħiħa, determinata matematikament mill-kostanti a > 1. Madankollu, hekk kif in-numri tal-pesti jiżdiedu, l-ikel se jsir skars u l-kapaċità riproduttiva se tonqos. F'każ kritiku, wieħed jista 'jimmaġina li jitwieldu tant insetti li jieklu l-qamħ kollu qabel ma jkunu jistgħu jirriproduċu, u l-popolazzjoni tmut. Mudell li jqis dan l-effett ta 'aċċess limitat għall-ikel kien propost għall-ewwel darba minn Verhulst fl-1838. F'dan il-mudell, ir-rata tat-tkabbir mhix kostanti, iżda tiddependi fuq l-istat tal-popolazzjoni:

Ir-relazzjoni bejn ir-rata tat-tkabbir a u Ni għandu jkollha l-proprjetà li ġejja: jekk il-popolazzjoni tiżdied, ir-rata tat-tkabbir għandha tonqos minħabba li l-aċċess għall-ikel huwa diffiċli. Naturalment, hemm ħafna funzjonijiet b'din il-proprjetà: dawn huma funzjonijiet minn fuq għal isfel. Verhulst ippropona r-relazzjoni li ġejja:

fejn a>0 u kostanti K>0 jikkaratterizzaw ir-riżorsi tal-ikel u jissejħu l-kapaċità tal-ambjent. Kif bidla fil-K taffettwa r-rata tat-tkabbir tal-popolazzjoni? Jekk K jiżdied, Ni/K jonqos. Min-naħa tiegħu, dan iwassal għall-fatt li 1-Ni/K jiżdied, li jfisser li jiżdied. Dan ifisser li r-rata tat-tkabbir qed tiżdied u l-popolazzjoni qed tikber aktar malajr. Allura, ejja nimmodifikaw il-mudell preċedenti (1) billi nassumu li r-rata ta 'tkabbir tvarja bħal fl-ekwazzjoni (3). Imbagħad irridu nġibu l-ekwazzjoni

Din l-ekwazzjoni tista' tinkiteb bħala ekwazzjoni rikorsisiva

fejn xi = Ni / K u xi + 1 = Ni + 1 / K jindikaw il-kwantitajiet tal-popolazzjoni skalati mill-ġdid fil-ħin i u fil-ħin i + 1. L-ekwazzjoni (5) tissejjaħ l-ekwazzjoni loġistika.

Jista 'jidher li b'modifika żgħira bħal din il-mudell tagħna huwa faċli biex jiġi analizzat. Ejja niċċekkjawha. Ejja nikkunsidraw l-ekwazzjoni (5) għall-parametru a = 0.5, nibda mill-popolazzjoni inizjali x0 = 0.45. Il-valuri tal-popolazzjoni konsekuttivi jistgħu jinkisbu bl-użu tal-ekwazzjoni rikorsiva (5):

x₁= mannara₀(1 p₀)

x₂= mannara₁(1 p₁)

x₃= mannara₂(1 p₂)

Biex niffaċilitaw il-kalkoli f'(6), nistgħu nużaw il-programm li ġej (huwa miktub f'Python u jista' jitħaddem, fost affarijiet oħra, fuq il-pjattaforma Sage. Nirrakkomandaw li taqra l-ktieb http://icse.us. edu .pl/e-book .), jissimulaw il-mudell tagħna:

a = 0.5 x = 0.45 għal i fil-medda (10):      x = a*x*(1–x)      ipprintja x

Aħna nikkalkulaw valuri suċċessivi ta 'xi u ninnutaw li għandhom tendenza għal żero. Billi tesperimenta bil-kodiċi ta 'hawn fuq, huwa wkoll faċli li wieħed jara li dan huwa minnu irrispettivament mill-valur inizjali ta' x0. Dan ifisser li l-popolazzjoni qed tmut kontinwament.

Fit-tieni stadju tal-analiżi, aħna nżidu l-valur tal-parametru a għal kwalunkwe valur fil-medda ae (1,3). Jirriżulta li allura s-sekwenza xi tmur għal ċertu numru x * > 0. Meta ninterpretaw dan mil-lat ekoloġiku, nistgħu ngħidu li d-daqs tal-popolazzjoni huwa ffissat f'ċertu livell, li ma jinbidilx minn staġun għal ieħor. Ta 'min jinnota li l-valur ta' x * ma jiddependix fuq l-istat inizjali x0. Dan huwa l-effett tal-ekosistema li tistinka għall-istabbilizzazzjoni - il-popolazzjoni taġġusta d-daqs tagħha għall-abbiltà li titma 'lilha nnifisha. Matematikament, jgħidu li s-sistema għandha tendenza għal punt fiss stabbli, i.e. tissodisfa l-ugwaljanza x = f(x) (dan ifisser li fil-mument li jmiss l-istat huwa l-istess bħal fil-mument preċedenti). Bl-użu ta’ Sage, nistgħu nħaffu din l-evoluzzjoni b’mod grafiku billi nippjanaw il-popolazzjoni kontra l-ħin.

Dan l-effett stabilizzanti kien mistenni mir-riċerkaturi, u l-ekwazzjoni loġistika (5) ma kinitx tattira ħafna attenzjoni li kieku ma kinitx għas-sorpriża. Irriżulta li għal ċerti valuri tal-parametru, il-mudell (5) iġib ruħu b'mod imprevedibbli. L-ewwelnett, hemm stati perjodiċi u multi-perjodiċi. It-tieni nett, ma 'kull pass ta' ħin il-popolazzjoni tinbidel b'mod irregolari, bħal moviment każwali. It-tielet, hemm sensittività kbira għall-kundizzjonijiet inizjali: żewġ kundizzjonijiet inizjali kważi indistingwibbli jwasslu għal evoluzzjoni tal-popolazzjoni kompletament differenti. Dawn il-karatteristiċi kollha huma karatteristiċi ta 'mġieba li tixbaħ moviment kompletament każwali u tissejjaħ kaos deterministiku.

Ejja nesploraw din il-proprjetà!

L-ewwel, ejja nissettjaw il-valur tal-parametru a = 3.2 u nħarsu lejn l-evoluzzjoni. Jista 'jidher sorprendenti li din id-darba l-popolazzjoni tilħaq mhux valur wieħed, iżda tnejn, li jseħħu konsekuttivament kull staġun ieħor. Madankollu, irriżulta li l-problemi ma spiċċawx hemm. F'a = 4 is-sistema m'għadhiex prevedibbli. Ejja nħarsu lejn il-Figura (2) jew niġġeneraw sekwenza ta' numri aħna stess bl-użu ta' kompjuter. Ir-riżultati jidhru li huma purament każwali u pjuttost differenti għal popolazzjonijiet tal-bidu kemmxejn differenti. Madankollu, il-qarrej attent għandu joġġezzjona. Kif tista' sistema deskritta minn ekwazzjoni deterministika1, anki waħda sempliċi ħafna, iġib ruħu b'mod imprevedibbli? Ukoll, forsi.

Karatteristika speċjali ta 'din is-sistema hija s-sensittività notevoli tagħha għall-kundizzjonijiet inizjali. Huwa biżżejjed li tibda b'żewġ kundizzjonijiet inizjali li jvarjaw b'parti waħda f'miljun, u fi ftit passi biss se jkollna valuri tal-popolazzjoni kompletament differenti. Ejja niċċekkjaw fuq il-kompjuter:

a = 4.0

x = 0.123 u=0.123+0.000001 PKC = [] għal i fil-medda (25): x = a*x*(1-x) u = a*u*(1-u) ipprintja x, y

Hawnhekk huwa mudell sempliċi ta 'evoluzzjoni deterministiku. Iżda dan id-determiniżmu huwa qarrieqi, huwa biss determiniżmu matematiku. Mil-lat prattiku, is-sistema taġixxi b'mod imprevedibbli għax qatt ma nistgħu nispeċifikaw matematikament il-kundizzjonijiet inizjali. Fil-fatt, kollox huwa determinat b'ċerta preċiżjoni: kull apparat tal-kejl għandu ċerta preċiżjoni u dan jista 'jikkawża imprevedibbiltà prattika f'sistemi deterministiċi li għandhom il-proprjetà ta' kaos. Eżempju huma mudelli tat-tbassir tat-temp, li dejjem juru l-proprjetà tal-kaos. Huwa għalhekk li t-tbassir tat-temp fit-tul huwa daqshekk ħżiena.

L-analiżi tas-sistemi kaotiċi hija estremament diffiċli. Madankollu, nistgħu pjuttost faċilment nisfruttaw ħafna mill-misteri tal-kaos billi tuża simulazzjonijiet tal-kompjuter. Ejja niġbed l-hekk imsejħa dijagramma ta 'bifurcation, li fuqha se npoġġu l-valuri tal-parametru a tul l-assi ascissa, u punti fissi stabbli tal-immappjar loġistiku tul l-assi ordinat. Aħna niksbu punti stabbli billi nisimulaw numru kbir ta 'sistemi fl-istess ħin u nippjanaw il-valuri wara ħafna passi ta' kalkolu. Kif tista' taħsbu, dan jeħtieġ ħafna kalkoli. Ejja nippruvaw nipproċessaw "b'attenzjoni" il-valuri li ġejjin:

importazzjoni numpy bħala np Nx = 300 Dak = 500 х = np.linspace (0,1, Nx) х = х + np.zeros((Na,Nx)) h = np.trasponi (h) a=np.linspace(1,4,Na) a=a+np.zeros((Nx,Na)) għal i fil-medda (100): x=a*x*(1-x) pt = [[a_,x_] għal a_,x_ in zip(a.flatten(),x.flatten())] punt (pt, daqs = 1, figsize = (7,5))

Għandna nispiċċaw b'xi ħaġa simili għall-figura (3). Kif tinterpreta din it-tpinġija? Pereżempju, bil-parametru a = 3.3, għandna 2 punti fissi stabbli (id-daqs tal-popolazzjoni huwa l-istess kull tieni staġun). Madankollu, għall-parametru a = 3.5 għandna 4 punti kostanti (kull raba’ staġun il-popolazzjoni għandha l-istess daqs), u għall-parametru a = 3.56 għandna 8 punti kostanti (kull tmien staġun il-popolazzjoni għandha l-istess daqs). Iżda għall-parametru a≈3.57 għandna infinitament ħafna punti fissi (id-daqs tal-popolazzjoni qatt ma jirrepeti u jinbidel b'mod imprevedibbli). Madankollu, li jkollna programm tal-kompjuter, nistgħu nibdlu l-ambitu tal-parametru a u nesploraw l-istruttura ġeometrika infinita ta 'din id-dijagramma bl-idejn tagħna stess.

Din hija biss il-ponta tal-iceberg. Inkitbu eluf ta’ karti xjentifiċi dwar din l-ekwazzjoni, iżda għadha taħbi s-sigrieti tagħha. Bl-għajnuna tal-immudellar tal-kompjuter, tista ', anki mingħajr ma tirrikorri għal matematika ogħla, tilgħab bħala pijunier fid-dinja tad-dinamika mhux lineari. Aħna nistednuk taqra l-verżjoni onlajn, li fiha dettalji dwar ħafna proprjetajiet interessanti tal-ekwazzjoni loġistika u modi interessanti biex tarahom.

¹ Liġi deterministika hija liġi li fiha l-futur huwa ddeterminat b'mod uniku mill-istat inizjali. L-antonimu huwa l-liġi tal-probabbiltà. ² Fil-matematika, "diskreta" tfisser il-kisba ta' valuri minn sett għadd speċifiku. L-oppost ta '"kontinwu".