Mogħdijiet u ħxuna ġeometriċi

Waqt li kont nikteb dan l-artiklu, ftakart f’kanzunetta antika ħafna ta’ Jan Pietrzak, li kanta qabel l-attivitajiet satiriċi tiegħu fil-cabaret Pod Egidą, rikonoxxut fir-Repubblika Popolari Pollakka bħala valv ta’ sigurtà; wieħed jista’ onestament jidħak bil-paradossi tas-sistema. F’din il-kanzunetta, l-awtur irrakkomanda l-parteċipazzjoni politika soċjalista billi jirredikola lil min irid ikun apolitiku u jitfi r-radju fil-gazzetta. “Aħjar tmur lura għall-qari tal-iskola,” kanta ironikament iż-żagħżugħ ta’ 19-il sena Pietrzak.

Se mmur lura l-qari tal-iskola. Qed naqra mill-ġdid (mhux għall-ewwel darba) il-ktieb ta’ Szczepan Yelensky (1881-1949) “Lylavati”. Għal ftit qarrejja, il-kelma nnifisha tgħid xi ħaġa. Huwa l-isem ta 'bint il-matematiku hindu famuż magħruf bħala Bhaskara (1114-1185), imsejjaħ Akarya, jew salvja, li intitolat ktieb tiegħu dwar l-alġebra b'dan l-isem. Lilavati aktar tard saret matematiku famuż u filosofu stess. Skont sorsi oħra, kienet hi li kitbet il-ktieb hija stess.

Szczepan Yelensky semma l-ktieb tiegħu dwar il-matematika eżattament bl-istess mod (l-ewwel edizzjoni - 1926). Jista’ jkun diffiċli li saħansitra ssejjaħ dan il-ktieb xogħol matematiku – kien aktar bħal sett ta’ puzzles, fil-biċċa l-kbira kkupjati minn sorsi Franċiżi (ma kien hemm l-ebda awtur fis-sens modern). Fi kwalunkwe każ, għal ħafna snin kien l-uniku ktieb popolari Pollakk dwar il-matematika - aktar tard ġie miżjud it-tieni ktieb ta 'Jelenski, "Is-Sladami ta' Pitagora". Allura żgħażagħ interessati fil-matematika (li huwa eżattament dak li darba kont) ma kellhom xejn minn fejn jagħżlu...

min-naħa l-oħra, “Lilavati” kellha tkun magħrufa kważi bl-amment... Eh, kien hemm drabi... L-akbar vantaġġ tagħhom kien li jien kont... żagħżugħ dak iż-żmien. Illum, mil-lat ta 'matematiku edukat tajjeb, inħares lejn Lilavati b'mod kompletament differenti - forsi bħal climber fuq il-liwjiet tal-mogħdija ta' Špiglasova Przełęcz. La wieħed u lanqas l-ieħor ma jitilfu s-seħer tagħhom... Fl-istil karatteristiku tiegħu, Szczepan Jelensky, li fil-ħajja personali tiegħu jistqarr l-hekk imsejħa ideat nazzjonali, jikteb fil-prefazju:

Mingħajr ma nmiss id-deskrizzjoni tal-karatteristiċi nazzjonali, se ngħid li anke wara disgħin sena, il-kliem ta 'Elensky dwar il-matematika ma tilfux ir-rilevanza tagħhom. Il-matematika tgħallem taħseb. Huwa fatt. Nistgħu ngħallmuk taħseb b'mod differenti, aktar sempliċi u aktar sabiħ? Jista 'jkun. Huwa biss... għadna ma nistgħux. Nispjega lill-istudenti tiegħi li ma jridux jagħmlu l-matematika li hija wkoll test tal-intelliġenza tagħhom. Jekk ma tistax titgħallem teorija matematika tassew sempliċi, allura... forsi l-abbiltajiet mentali tiegħek huma agħar milli nixtiequ t-tnejn li aħna...?

Sinjali fir-ramel

U hawn l-ewwel storja f'"Lylavati" - storja deskritta mill-filosfu Franċiż Joseph de Maistre (1753-1821).

Baħri minn vapur imkisser ġie mitfugħ mill-mewġ fuq xatt vojt, li kien iqisha diżabitata. F’daqqa waħda, fir-ramel tal-kosta, ra traċċa ta’ figura ġeometrika miġbuda quddiem xi ħadd. Kien imbagħad li nduna li l-gżira ma kinitx mitluqa!

Filwaqt li jikkwota lil de Mestri, Yelensky jikteb: figura ġeometrikakienet tkun espressjoni siekta għall-koinċidenza sfortunata tan-nawfraġju, imma mal-ewwel daqqa t’għajn urieh il-proporzjon u n-numru, u dan ħabbar bniedem imdawwal.” Tant għall-istorja.

Jekk jogħġbok innota li l-istess reazzjoni se tkun ikkawżata minn baħri, pereżempju, billi tiġbed l-ittra K,... u kwalunkwe traċċa oħra tal-preżenza ta 'persuna. Il-ġeometrija hija idealizzata hawn.

Madankollu, l-astronomu Camille Flammarion (1847-1925) ipproponiet li ċ-ċiviltajiet isellmu lil xulxin mill-bogħod bl-użu tal-ġeometrija. Huwa ra dan bħala l-uniku attentat korrett u possibbli ta 'komunikazzjoni. Ejja nuru lil Martians bħal dawn it-trijangoli Pitagori... huma jwieġbuna b'Thales, aħna nwieġbuhom b'disinji Vieta, iċ-ċirku tagħhom jidħol fi trijangolu, u għalhekk bdiet ħbiberija...

Kittieba bħal Jules Verne u Stanislaw Lem reġgħu lura għal din l-idea. U fl-1972, tqiegħed madum b'disinji ġeometriċi (u oħrajn) abbord is-sonda Pioneer, li għadha qed taqsam il-firxiet tal-ispazju, issa kważi 140 unità astronomika minna (1 I hija d-distanza medja tad-Dinja mid-Dinja) . Sun, jiġifieri madwar 149 miljun km). Il-maduma ġiet żviluppata, fost oħrajn, mill-astronomu Frank Drake, kreatur tar-regola kontroversjali dwar in-numru ta 'ċiviltajiet extraterrestri.

Il-ġeometrija hija assolutament aqwa. Ilkoll nafu l-perspettiva ġenerali dwar l-oriġini ta 'din ix-xjenza. Aħna (aħna l-bnedmin) għadna kemm bdejna nkejlu l-art (u mbagħad l-art) għall-aktar skopijiet utilitarji. Id-determinazzjoni tad-distanzi, it-tfassil ta 'linji dritti, l-immarkar ta' angoli retti u l-kalkolu tal-volumi gradwalment sar neċessità. Minn hemm ġej kollox il-ġeometrija (“Il-kejl tad-dinja”), għalhekk il-matematika kollha...

Madankollu, għal xi żmien din l-istampa ċara tal-istorja tax-xjenza mċajpra. Għax kieku l-matematika kienet meħtieġa biss għal skopijiet operattivi, aħna ma nkunux involuti fil-prova ta 'teoremi sempliċi. "Int tara li dan għandu jkun minnu ġeneralment," kulħadd se jgħid, wara li jiċċekkja li f'diversi triangoli retti s-somma tal-kwadri ta 'l-ipotenużi hija ugwali għall-kwadru ta' l-ipotenużi. Għaliex formaliżmu bħal dan?

It-torta tal-għanbaqar trid tkun fit-togħma, il-programm tal-kompjuter irid jaħdem, il-magna trid taħdem. Jekk ikkalkulajt il-kapaċità tal-barmil tletin darba u kollox huwa fl-ordni, allura għaliex inkella?

Sadanittant, il- Griegi tal- qedem indunaw li kellhom bżonn isibu xi evidenza formali.

Allura, il-matematika tibda minn Thales (625-547 QK). Huwa preżunt li kien Miletus li beda jistaqsi għaliex. Għal nies intelliġenti, mhux biżżejjed li raw xi ħaġa, li huma konvinti minn xi ħaġa. Huma raw il-ħtieġa għal prova, sekwenza loġika ta 'argumenti mill-assunzjoni għat-teżi.

Riedu wkoll aktar. Probabbilment kien Thales li l-ewwel ipprova jispjega l-fenomeni fiżiċi b’mod naturalistiku, mingħajr intervent divin. Il-filosofija Ewropea bdiet bil-filosofija tan-natura - b'dak li diġà jinsab wara l-fiżika (għalhekk l-isem: metafiżika). Iżda l-pedamenti tal-ontoloġija Ewropea u l-filosofija naturali tqiegħdu mill-Pitagoriċi (Pitagora, c. 580-c. 500 QK).

Huwa waqqaf l-iskola tiegħu stess f’Crotone fin-Nofsinhar tal-Peniżola tal-Appennini – illum insejħuha setta. Ix-xjenza (fis-sens attwali tal-kelma), il-mistika, ir-reliġjon u l-fantasija huma kollha marbuta mill-qrib. Thomas Mann ippreżenta b’mod sabiħ ħafna lezzjonijiet tal-matematika f’gymnasium Ġermaniż fir-rumanz Doctor Faustus. Tradott minn Maria Kuretskaya u Witold Virpsha, dan il-framment jgħid:

Fil-ktieb interessanti ta’ Charles Van Doren, “The History of Knowledge from the Dawn of History to the Present Day,” sibt perspettiva interessanti ħafna. F'wieħed mill-kapitoli, l-awtur jiddeskrivi s-sinifikat tal-iskola Pitagorika. It-titlu tal-kapitlu nnifsu laqatni. Taqra: "L-Invenzjoni tal-Matematika: Il-Pitagoriċi."

Ħafna drabi niddiskutu jekk it-teoriji matematiċi humiex qed jiġu skoperti (bħal artijiet mhux magħrufa) jew ivvintati (bħal magni li qatt ma kienu jeżistu qabel). Xi matematiċi kreattivi jqisu lilhom infushom riċerkaturi, oħrajn - inventuri jew disinjaturi, jew, inqas spiss, kalkolaturi.

Iżda l-awtur ta 'dan il-ktieb jikteb dwar l-invenzjoni tal-matematika b'mod ġenerali.

Minn esaġerazzjoni għad-delużjoni

Wara din il-parti introduttorja twila, se mmur għall-bidu nett il-ġeometrija, biex tiddeskrivi kif fidi eċċessiva fil-ġeometrija tista 'twassal lil xjenzat żbaljat. Johannes Kepler huwa magħruf fil-fiżika u l-astronomija bħala dak li jiskopri t-tliet liġijiet tal-moviment tal-korpi ċelesti. L-ewwel, kull pjaneta fis-sistema solari tiċċaqlaq madwar ix-xemx f'orbita ellittika, bix-xemx f'fokus wieħed. It-tieni, f'intervalli regolari r-raġġ ewlieni tal-pjaneta, miġbud mix-Xemx, jiġbed oqsma ugwali. It-tielet nett, il-proporzjon tal-kwadru tal-perjodu orbitali tal-pjaneta madwar ix-Xemx mal-kubu tal-assi semi-maġġuri tal-orbita tagħha (jiġifieri, id-distanza medja mix-Xemx) huwa kostanti għall-pjaneti kollha tas-Sistema Solari.

Din setgħet kienet it-tielet liġi - kienet teħtieġ ħafna dejta u kalkoli biex tiġi stabbilita, li wasslet lil Kepler biex ikompli jfittex mudell fil-moviment u l-pożizzjoni tal-pjaneti. L-istorja tal-“iskoperta” ġdida tiegħu hija istruttiva ħafna. Minn żminijiet antiki, aħna ammirajna mhux biss polyhedra regolari, iżda wkoll raġunament li juri li hemm biss ħamsa minnhom fl-ispazju. Poliedru tridimensjonali jissejjaħ regolari jekk l-uċuħ tiegħu huma l-istess poligoni regolari u kull vertiċi għandu l-istess numru ta’ truf. B'mod illustrattiv: kull kantuniera ta 'poliedru regolari għandha "tidher l-istess". L-aktar polyhedron famuż huwa l-kubu. Kulħadd ra għaksa ordinarja.

It-tetrahedron regolari huwa inqas magħruf, u fl-iskola tissejjaħ piramida trijangolari regolari. Jidher qisu piramida. It-tliet poliedri regolari l-oħra huma inqas magħrufa. Ottaedru jiġi ffurmat meta ngħaqqdu ċ-ċentri tat-truf ta’ kubu. Id-dodecahedron u l-icosahedron diġà jidhru qishom blalen. Magħmula minn ġilda ratba, ikunu komdi biex tħaffer magħhom. Ir-raġunament li m'hemm l-ebda polyhedra regolari ħlief il-ħames solidi Platonic huwa tajjeb ħafna. L-ewwel, nindunaw li jekk il-korp huwa regolari, allura l-istess numru (ħalli q) ta 'poligoni regolari identiċi għandhom jikkonverġu f'kull vertiċi, ħalli dawn ikunu p-angoli. Issa rridu niftakru x'inhu l-angolu f'poligonu regolari. Jekk xi ħadd ma jiftakarx mill-iskola, infakkruk kif issib il-mudell it-tajjeb. Ħadna vjaġġ l-kantuniera. F'kull vertiċi aħna nduru bl-istess angolu a. Meta mmorru madwar il-poligonu u nerġgħu lura għall-punt tat-tluq, għamilna p dawriet bħal dawn, u b'kollox dawwarna 360 grad.

Iżda α huwa l-kompliment ta '180 grad ta' l-angolu li rridu nikkalkulaw u għalhekk huwa ugwali għal

Sibna l-formula tal-angolu (matematiku jgħid: kejl tal-angoli) ta’ poligonu regolari. Ejja niċċekkjaw: fit-trijangolu p = 3, m'hemm l-ebda a

Bħal dan. Meta p = 4 (kwadru), allura

gradi u dan huwa wkoll normali.

X'nieħdu għal pentagonu? Allura x'jiġri meta jkun hemm q poligoni, kull p li jkollu l-istess angoli

 gradi, jinżel fuq vertiċi wieħed? Kieku kien fuq pjan, jifforma angolu

gradi u ma jistax ikun aktar minn 360 grad - għaliex allura l-poligoni jikkoinċidu.

Madankollu, peress li dawn il-poligoni jiltaqgħu fl-ispazju, l-angolu għandu jkun inqas mill-angolu sħiħ.

U hawn hija l-inugwaljanza li minnha ġej dan kollu:

Ejja naqsmu b'180, immoltiplika ż-żewġ partijiet b'p, ordni (p-2) (q-2) < 4. X'inhu ġej? Ejja nirrealizzaw li p u q għandhom ikunu numri naturali u li p > 2 (għaliex? U x'inhu p?), u wkoll q > 2. M'hemmx ħafna possibbiltajiet biex il-prodott ta' żewġ numri naturali jsir inqas minn 4. Aħna se elenkahom kollha fit-tabella 1.

Jien mhux qed inpoġġi t-tpinġijiet, kulħadd jista’ jara dawn il-figuri fuq l-Internet... Fuq l-Internet... Mhux se nirrifjuta digressjoni lirika - forsi interessanti għall-qarrejja żgħażagħ. Fl-1970 tkellimt f’seminar. Is-suġġett kien diffiċli. Kelli ftit ħin biex nipprepara, sibt filgħaxija. L-artiklu ewlieni sar disponibbli għall-qari lokali biss. Il-post kien komdu, b'atmosfera tax-xogħol, u għalaq fis-sebgħa. Imbagħad l-għarusa (issa l-mara) stess offriet li tikteb mill-ġdid l-artiklu kollu għalija: madwar tużżana paġni stampati. Reġajt ktibtha (le, mhux bil-pinna quill, anke kellna pinen), il-lecture kienet suċċess. Illum ippruvajt insib din il-pubblikazzjoni, li hija diġà antika. Ftakart biss l-isem tal-awtur... It-tfittxijiet fuq l-Internet damu ħafna... daqs ħmistax-il minuta. Naħseb dwar dan bi grin u ftit dispjaċir mhux ġustifikat.

Immorru lura Keplera i geometria. Apparentement, Platun bassar l-eżistenza tal-ħames forma regolari għax ma kellux xi ħaġa li tgħaqqad, li tinkludi d-dinja kollha. Forsi għalhekk huwa inkariga dixxiplu (Teajtet) biex ifittexha. Kif kien, hekk kien, li fuq il-bażi tiegħu ġie skopert id-dodecahedron. Din l-attitudni Platonika nsejħulha panteiżmu. Ix-xjentisti kollha, sa Newton, ċedew għaliha sa ċertu punt. Sa mis-seklu tmintax razzjonali ħafna, l-influwenza tiegħu naqset radikalment, għalkemm m’għandniex nistħijin li lkoll qed nċedu għaliha xi grad jew ieħor.

Fil-kunċett Keplerian tal-kostruzzjoni tas-sistema solari, kollox kien korrett, id-dejta sperimentali ħabtet mat-teorija, it-teorija kienet loġikament armonjuża, sabiħa ħafna... iżda kompletament falza. Fi żmienu, sitt pjaneti biss kienu magħrufa: Merkurju, Venere, Dinja, Mars, Ġove u Saturnu. Għaliex hemm sitt pjaneti biss? - staqsa Kepler. U liema mudell jiddetermina d-distanza tagħhom mix-Xemx? Huwa jassumi li kollox kien konness, dak ġeometrija u kosmogonija huma relatati mill-qrib ma’ xulxin. Mill-kitbiet tal-Griegi tal-qedem, kien jaf li hemm biss ħames poliedri regolari. Huwa ra li bejn is-sitt orbiti kien hemm ħames vojt. Allura forsi kull wieħed minn dawn l-ispazji ħielsa jikkorrispondi għal xi polyhedron regolari?

Wara bosta snin ta 'osservazzjonijiet u xogħol teoretiku, ħoloq it-teorija li ġejja, li bl-għajnuna tagħha kkalkula b'mod pjuttost preċiż id-dimensjonijiet tal-orbiti, li ppreżenta fil-ktieb "Mysterium Cosmographicum", ippubblikat fl-1596: Immaġina sfera ġiganteska, li d-dijametru tiegħu huwa d-dijametru ta 'l-orbita ta' Merkurju fil-moviment annwali tiegħu madwar ix-Xemx. Imbagħad immaġina li fuq din l-isfera hemm ottaedru regolari, fuqha sfera, fuqha icosahedron, fuqha għal darb'oħra sfera, fuqha dodecahedron, fuqha sfera oħra, fuqha tetrahedron, imbagħad għal darb'oħra fuq sfera, a kubu u finalment fuq dan il-kubu jiġi deskritt il-ballun.

Kepler ikkonkluda li d-dijametri ta 'dawn l-isferi suċċessivi kienu d-dijametri tal-orbiti ta' pjaneti oħra: Merkurju, Venere, Dinja, Mars, Ġove u Saturnu. It-teorija dehret preċiża ħafna. Sfortunatament, dan ikkoinċida ma 'dejta sperimentali. U x'jista 'jkun evidenza aħjar tal-korrettezza ta' teorija matematika mill-qbil tagħha ma 'data sperimentali jew data ta' osservazzjoni, speċjalment "meħuda mis-sema"? Jiena niġbor dawn il-kalkoli fit-Tabella 2. Allura x'għamel Kepler? Ippruvajt u ppruvajt sakemm ħadmet, jiġifieri, meta l-konfigurazzjoni (l-ordni tal-isferi) u l-kalkoli li rriżultaw ikkoinċidew mad-dejta ta 'osservazzjoni. Hawn huma ċ-ċifri u l-kalkoli moderni ta’ Kepler:

Wieħed jista 'jċedi għas-seħer tat-teorija u jemmen li huma l-kejl fis-sema li mhumiex preċiżi, u mhux il-kalkoli magħmula fis-skiet tal-workshop. Sfortunatament, illum nafu li hemm mill-inqas disa' pjaneti u li kwalunkwe riżultat simili huwa biss koinċidenza. Ħasra. Kienet tant sabiħa...